关于奇异黎曼曲面叶状结构上Poincaré度量的两点注记

设$\mathcal{F}$为$M \setminus E$上的光滑黎曼曲面叶状结构，其中$M$为复流形，$E \subset M$为闭集。在$M \setminus E$上取一厄米度量$g$，并假设$\mathcal{F}$的所有叶均为双曲的。对每片叶$L \subset \mathcal{F}$，$g | L$（$g$在$L$上的限制）与$L$上Poincar\'{e}度量$\lambda_L$之比定义一个正函数$\eta$，在$M, E$的适当条件下已知其在$M \setminus E$上连续。对区域$U \subset M$，考虑$\mathcal{F}$在$U$上的限制$\mathcal{F}_U$，以及由$g$与$\mathcal{F}_U$各叶上Poincar\'{e}度量之比给出的相应正函数$\eta_U$。首先，受Lins Neto-Martins工作的启发，我们研究当$U$按Hausdorff意义变化时效$\eta_U$的变化。其次，Minda已证明双曲黎曼曲面$S$存在域Bloch常数，换言之即表明从单位圆盘到$S$的每个全纯映射，若其在原点的畸变有下界，则必在某个一致半径的双曲球内局部单射。我们展示如何推导出$\mathcal{F}$的这一Bloch常数版本。