实黎曼曲面模群上的庞加莱定理

设 $Mod_{g}$ 为亏格 $g$ 曲面的模群。每个元素 $[h]\in Mod_{g}$ 在亏格 $g$ 曲面的整数同调上诱导一个辛自同构 $H([h])$,庞加莱证明了 $H:Mod_{g}\to Sp(2g,\mathbb{Z})$ 是满同态。实代数曲线理论证成了将实黎曼曲面定义为带有反共形对合 $\sigma$ 的黎曼曲面 $S$。设 $(S,\sigma)$ 为实黎曼曲面,由满足存在表示 $h$ 使得 $h\circ\sigma=\sigma\circ h$ 的元素 $[h]\in Mod_{g}$ 组成的 $Mod_{g}$ 的子群 $Mod_{g}^{\sigma}$,在实黎曼曲面理论中扮演模群的角色。本文中我们描述了 $H$ 下 $Mod_{g}^{\sigma}$ 的像。该像依赖于对合 $\sigma$ 的拓扑型。