Poincaré 不变量

我们在 Behrend-Fantechi 意义下为相对 Hilbert 概形构造了一个阻碍理论,并对光滑射影簇上除子的相对 Hilbert 概形显式计算了该理论。在曲面 V 上曲线的特殊情形中,我们的阻碍理论确定了虚基本类 $[[ \Hilb^m_V ]]$,我们用它来定义 Poincaré 不变量 (P^+_V,P^-_V): H^2(V,Z) --> \Lambda^* H^1(V,Z) x \Lambda^* H^1(V,Z)。这些映射在形变下不变,满足爆破公式,以及对 $p_g(V)=0$ 的曲面的穿墙公式。我们完全确定了直纹面上的不变量,并由此重新推导了 Nagata 和 Lange 的经典结果。椭圆 fibrations 的不变元 $(P^+_V,P^-_V)$ 根据其多重纤维计算。我们猜想我们的 Poincaré 不变量与 Okonek-Teleman 相对于标准定向数据计算的全 Seiberg-Witten 不变量一致。该猜想的主要证据基于一个 Kobayashi-Hitchin 同构,它把单极子模空间与相应的 Hilbert 概形等同起来。我们期望该同构也能辨别相应的虚基本类。这个更具概念性的猜想在光滑情形成立。