凸区域中 Boltzmann 方程的正则性

由于边界的特征性质以及碰撞算子的非局部混合效应，关于物理边界条件下 Boltzmann 解的正则性这一基本问题尚未解决。本文考虑严格凸区域中具有镜面反射、反弹和扩散边界条件的 Boltzmann 方程。借助于趋向擦边集的距离函数，我们为所有边界条件构造了擦边集之外的加权经典 $C^{1}$ 解。对于扩散边界条件，我们还构造了 $1< p<2$ 的 $W^{1,p}$ 解以及 $2\leq p\leq \infty$ 的加权 $W^{1,p}$ 解。另一方面，通过为所有边界条件构造反例，我们证明了二阶导数在一般情况下无法延拓至边界。