数据处理不等式的恢复映射稳定性

数据处理不等式（DPI）指出，Umegaki 相对熵 $S(\rho||\sigma) := {\rm Tr}[\rho(\log \rho - \log \sigma)]$ 在完全正迹保持（CPTP）映射作用下是非增的。设 ${\mathcal M}$ 为有限维冯·诺依曼代数，${\mathcal N}$ 为其冯·诺依曼子代数。设 ${\mathcal E}_\tau$ 为从 ${\mathcal M}$ 到 ${\mathcal N}$ 的迹条件期望。对于 ${\mathcal N}$ 中的密度矩阵 $\rho$ 和 $\sigma$，令 $\rho_{\mathcal N} := {\mathcal E}_\tau \rho$ 且 $\sigma_{\mathcal N} := {\mathcal E}_\tau \sigma$。由于 ${\mathcal E}_\tau$ 是 CPTP 的，DPI 表明 $S(\rho||\sigma) \geq S(\rho_{\mathcal N}||\sigma_{\mathcal N})$，且一般情况可由之轻易推出。Petz 的一个定理指出，等式成立当且仅当 $\sigma = {\mathcal R}_\rho(\sigma_{\mathcal N} )$，其中 ${\mathcal R}_\rho$ 是 Petz 恢复映射，它是对偶于从 ${\mathcal M}$ 到 ${\mathcal N}$ 的 Accardi-Cecchini 粗粒化算子 ${\mathcal A}_\rho$ 的。在其最简单形式下，我们的界为 $$S(\rho||\sigma) - S(\rho_{\mathcal N} ||\sigma_{\mathcal N} ) \geq \left(\frac{1}{8\pi}\right)^{4} \|\Delta_{\sigma,\rho}\|^{-2} \| {\mathcal R}_{\rho_{\mathcal N}} -\sigma\|_1^4$$ 其中 $\Delta_{\sigma,\rho}$ 是相对模算子。我们还证明了关于各种拟相对熵的相关结果。显式描述 Petz 方程 $\sigma = {\mathcal R}_\rho(\sigma_{\mathcal N} )$ 的解集等同于确定 Accardi-Cecchini 粗粒化映射的不动点集。基于先前工作，我们给出了 Petz 方程解集的极为详尽的描述，并以一种简单自洽的方式得到了我们的所有结果。