Potts 半群的 nonlinear Log-Sobolev 不等式及其在重构问题中的应用

考虑完全图上的随机游走半群，我们称之为 Potts 半群。Diaconis 与 Saloff-Coste 计算了相对熵与 Dirichlet 形式之比的最大值，得到了 $2$-log-Sobolev 不等式（$2$-LSI）中的常数 $\alpha_2$。本文中，我们获得了关联熵与 Dirichlet 形式的最佳可能非线性不等式（即 $p$-NLSI，$p\ge1$）。作为示例，我们给出 $\alpha_1 = 1+\frac{1+o(1)}{\log k}$。通过对 $1$-NLSI 积分，我们得到新的强数据处理不等式（strong data processing inequality, SDPI），进而改进了 Mossel 与 Peres 关于树上 Potts 模型重构阈值的结论。一个特例是：已知树上所有叶节点颜色，重构根节点颜色的问题。我们表明，若要获得非平凡的重构概率，树的branching number应至少为 $$\frac{\log k}{\log k - \log(k-1)} = (1-o(1))k\log k.$$ 这以（略）更一般性恢复了先前（Sly 与 Bhatnagar 等人）的结果，但更重要的是避免了对任何着色专用论证的需求。类似地，我们改进了具有 $k$ 个均衡组的随机块模型在弱恢复阈值上的最优结果，对所有 $k\ge 3$。为进一步展示方法的威力，我们证明了带高斯核的树上广播模型的最优非重构结果，弥补了 Eldan 等人遗留的空白。这些改进倡导信息论方法作为源自统计物理的传统技术之有益补充。