带啁啾函数的Littlewood-Paley理论的最新进展

Littlewood-Paley理论是频率局部化、平方函数控制和乘子分析的基本工具，然而在分数阶傅里叶变换(FrFT)框架下，其系统性的对应理论仍不完整。基于一个观察：对于固定的$\alpha\notin\pi\mathbb Z$，一大类FrFT侧的算子通过$$M_{\alpha}f(x)=e^{i\pi |x|^2\cot\alpha}f(x)$$是其经典傅里叶对应算子的精确啁啾共轭，我们发展了一个统一的FrFT Littlewood-Paley框架。在这个统一框架内，我们提出了：FrFT乘子恒等式；Littlewood-Paley平方函数估计及其逆定理；尖锐的二进区间分解；Marcinkiewicz和Mihlin-Hörmander乘子结果；极大、粗糙平方函数和几乎正交性估计；扭曲二进鞅几何；非齐次Sobolev、Besov和Triebel-Lizorkin描述；Calderón再生公式；拉回空间和FrFT Riesz-Bessel算子；BMO、Carleson、尖锐极大和Hardy空间；扭曲乘积估计、多线性界和Kato-Ponce定理；Lipschitz空间中的分数阶移位；以及分数参数下的经典极限和奇异边界律。反复出现的主题是，一大类FrFT算子是其经典对应算子的精确啁啾共轭，因此在一次识别重缩放符号后，大多数估计都以相同的常数继承下来。