调和流形上 $L^p$ 乘子的动力学

设 $X$ 是一个完备、单连通的调和流形，其截面曲率 $K$ 满足 $K \leq -1$。在 \cite{biswas6} 中，为 $X$ 上的函数定义了傅里叶变换，并证明了傅里叶反演公式与 Plancherel 定理。我们利用该傅里叶变换研究某些有界线性算子 $T : L^p(X) \to L^p(X)$ 在 $L^p(X)$（$p > 2$）上的动力学，依照标准术语我们称之为“$L^p$-乘子”。这些算子需保持 $L^p$ 径向函数子空间不变。在 \cite{biswas6} 中定义了与径向函数的卷积概念，这些算子还需与卷积相容，即对所有径向 $C^{\infty}_c$-函数 $\phi, \psi$ 有 $$T\phi * \psi = \phi * T\psi$$。它们还需与径向函数的平移相容。$L^p$-乘子的例子包括与 $L^1$ 径向函数卷积的算子，或更一般地，与有限径向测度卷积的算子。特别地，热半群 $e^{t\Delta}$ 的元素作为乘子作用。给定 $2 < p < \infty$，我们证明对任意不是恒等算子标量倍的 $L^p$-乘子 $T$，存在 $\nu \in \mathbb{C}$ 取值的开集，使得算子 $\frac{1}{\nu} T$ 在 $L^p(X)$ 上依 Devaney 意义是混沌的，即拓扑传递且周期点稠密。此外，此类算子也是拓扑混合的。我们还证明存在常数 $c_p > 0$，使得对任意 $\Re c > c_p$ 的 $c \in \mathbb{C}$，平移热半群 $e^{ct} e^{t\Delta}$ 在 $L^p(X)$ 上的作用是混沌的。这些结果推广了关于非紧型秩一对称空间与负曲率调和 $NA$ 群（或 Damek-Ricci 空间）的相应结果。