关于 $L^p$ 空间中象素算子有界性、伪微分计算及时频表示

Hausdorff-Young 不等式确定了傅里叶变换从 $L^p$ 到 $L^q$ 空间的有界性，其中 $1\leq p\leq2$ 且 $q=p'$，其中 $p'$ 为 $p$ 的 Lebesgue 共轭指数。本文扩展了这一经典结果，通过刻画所有象素算子在 $L^p-L^q$ 空间中的有界性来实现这一目标。我们证明，象素算子在 Lebesgue 空间上有界当且仅当其符号投影要么是自由的，要么是下三角块结构。作为副产品，我们识别出在 Lebesgue 空间中作为同胚映射的象素算子。为此，我们利用 F. M. Dopico 和 C. R. Johnson 对符号群的parametrization，即将由复指数、二相位、傅里叶乘子、线性变量变换和部分傅里叶变换组成的乘积。随后，我们利用这些发现，为具有 Lebesgue 空间符号的伪微分算子提供 $L^p$ 空间中的有界性结果，这些算子通过象素算子进行量化。这些量化由象素 Wigner 分布构成，这些分布在衡量信号局部相空间浓度方面发挥着基本作用。利用 Dopico-Johnson 分解，我们推导出 $L^2(\mathbb{R}^{2d})$ 中象素算子相对于可移位可逆象素算子的分解律，证明可移位符号矩阵在 $Sp(2d,\mathbb{R})$ 中的稠密性，并证明不可移位性会阻止象素 Wigner 分布定义所谓的调制空间 $M^p(\mathbb{R}^d)$。