极端理想幂的解析实现

极端理想是一类方形自由单项式理想，它们在所有方形自由单项式理想的幂中占主导地位并决定许多代数不变量。例如，q 生成器的 r 次方 ${\mathcal{E}_q}^r$ 具有所有 q 生成器的 r 次方方形自由单项式理想的最大 Betti 数。在本文中，我们通过极端理想的幂的解析来研究方形自由单项式理想幂的(最小)自由解析的组合和几何结构。虽然最终结果是代数的，但该问题在多项式和离散几何学中具有自然的解释。我们的指导性猜想是，所有 ${\mathcal{E}_q}^r$ 的幂都具有基于其 Scarf 单纯形复合体上的解析，从而其解析尽可能小。这一猜想已知在 r ≤ 2 或 q ≤ 4 时成立。在本文中，我们证明了该猜想在 r=3 且任意 q ≥ 1 时成立，通过对 ${\mathcal{E}_q}^3$ 的 Scarf 复合体给出完整描述。这实际上为任意方形自由单项式理想第三次幂的 Betti 数和投影维数提供了尖锐的界限。对于较大的 i 和 q，我们对 i 次 Betti 数的界限在已知的先前界限上实现了指数级的改进。我们还描述了 ${\mathcal{E}_q}^r$ Scarf 复合体中大量面的结构，其中 r,q ≥ 1。