环路积分的实部与 Kaneko 猜想

我们证明了 Kaneko 关于模 $j$ 函数在实二次无理数处的“值” $\mathrm{val}(w)$ 的两个猜想：我们证明了对于所有实二次无理数 $w$，下界 $\mathrm{Re}(\mathrm{val}(w))\geq \mathrm{val}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$ 成立；对于所有 Markov 无理数 $w$，上界 $\mathrm{Re}(\mathrm{val}(w))\leq \mathrm{val}\left(1+\sqrt{2}\right)$ 成立。这些结果可推广至任意弱全纯模函数 $f$ 在二次无理数处的“值”，其中 $f$ 满足 $f(e^{it})$ 在 $t\in [\pi/3,\pi/2]$ 上是实数、非负且递增的。