奇异环的 Hilbert-Kunz 重数的界

在本文中，我们证明了 Watanabe-Yoshida 猜想在维数至多为 $7$ 时成立。我们的首要新工具是一个函数 $\varphi_J\left(R; z^t\right)$，它在基环 $R$ 与各种根式扩张 $R_n$ 的 Hilbert-Kunz 重数之间进行插值。我们证明了该函数是凹的，并表明其增长率与 $e_{HK}\left(R\right)$ 的大小相关。我们结合了几种已知技术以获得 $\varphi$ 的有效下界，这转化为对奇异环的 Hilbert-Kunz 重数大小的改进界。这些改进的不等式足够强大，足以表明 Watanabe 和 Yoshida 的猜想维数 $7$ 时成立。