二次超曲面的 Hilbert-Kunz 密度函数

我们证明了 Krull 维数为 $n+1$ 的二次超曲面的 Hilbert-Kunz 密度函数在 $[0, n]$ 的某个子集上是分段多项式，其在 $[0, n]$ 中的补集测度为零。我们对 Hilbert-Kunz 密度函数的显式描述证实了 Watanabe-Yoshida 关于维数 $n+1$ 的二次超曲面的 Hilbert-Kunz 重数下界的猜想，前提是特征至少为 $n-1$。我们还证明了固定维数的二次超曲面的 Hilbert-Kunz 重数是特征的一个最终严格递减函数，证实了 Yoshida 的一个猜想。主要输入来自于通过矩阵因子分解对由该二次超曲面定义射影簇上的算术 Cohen-Macaulay 丛的分类。