三维局部环的Hilbert-Kunz重数

本文中,我们研究特征 $p>0$、Krull 维数 $d$ 的非正则非混合局部环的 Hilbert-Kunz 重数的一个下界(记为 $s_{HK}(p,d)$)。特别地,我们聚焦三维局部环。事实上,作为主要结果,我们将证明 $s_{HK}(p,3) = 4/3$,并且在温和条件下 Hilbert-Kunz 重数为 4/3 的三维完备局部环同构于非退化二次超曲面 $k[[X,Y,Z,W]]/(X^2+Y^2+Z^2+W^2)$。此外,我们将主要定理对 $\dim A \ge 4$ 情形的推广作为一个猜想提出,并利用与主要定理证明类似的方法说明其在 $\dim A = 4$ 时亦成立。