纤维的 Hilbert-Kunz 重数及 Bertini 定理

设 $k$ 为特征 $p > 0$ 的代数闭域。我们证明：若 $X\subseteq\mathbb{P}^n_k$ 是一个等维子概型，且在所有点 $x\in X$ 处 Hilbert–Kunz 重数均小于 $\lambda$，则对一般的超平面 $H\subseteq\mathbb{P}^n_k$，$X\cap H$ 在所有点 $x\in X\cap H$ 处的 Hilbert–Kunz 重数也小于 $\lambda$。这回答了一个猜想，并推广了 Carvajal-Rojas、Schwede 与 Tucker 的结果，当 $X\subseteq\mathbb{P}^n_k$ 正规时他们的结论与我们的相同。在此过程中，我们大幅推广了上述作者所获得的关于映射纤维的 Hilbert–Kunz 重数的一致估计，这应具有独立的意义。