具有指定约化态的态的秩与特征值

对于表示为 $n\times n$ 密度矩阵 $\sigma \in M_n$ 的量子态，令 ${\cal S}(\sigma)$ 为满足第一偏迹等于 $\sigma$ 的量子态 $\rho = (\rho_{ij}) \in M_{m\cdot n}$ 构成的紧凸集，即 ${\rm tr}_1(\rho) = \rho_{11} + \cdots + \rho_{mm} = \sigma$。已知若 $m \ge n$，则存在秩为 1 的矩阵 $\rho \in {\cal S}(\sigma)$ 满足 ${\rm tr}_1(\rho) = \sigma$。若 $m < n$，则 ${\cal S}(\sigma)$ 中可能不存在秩为 1 的矩阵。本文确定了集合 ${\cal S}$ 中元素的秩及其极值点的秩。我们还确定了秩不超过 $k$ 的 $\rho^* \in {\cal S}(\sigma)$，使得对于给定的酉相似不变范数 $\|\cdot\|$，$\|{\rm tr}_1\rho^*) - \sigma\|$ 达到最小。此外，分析了 $\sigma$ 的特征值与 $\rho \in {\cal S}(\sigma)$ 的特征值之间的关系。文中还将提及结果的推广和一些开放问题。