极值边缘态的秩

设 $\rho_1$ 和 $\rho_2$ 分别是 $\mathbb{C}^{d_1}$ 和 $\mathbb{C}^{d_2}$ 上的两个态。边缘态空间，记作 $\mathcal{C}(\rho_1,\rho_2)$，是所有在 $\mathbb{C}^{d_1}\otimes \mathbb{C}^{d_2}$ 上具有偏迹 $\rho_1, \rho_2$ 的态 $\rho$ 的集合。K. R. Parthasarathy 证明了：若 $\rho$ 是 $\mathcal{C}(\rho_1,\rho_2)$ 的极值点，则 $\rho$ 的秩不超过 $\sqrt{d_1^2+d_2^2-1}$。Rudolph 提出了关于该界紧性的问题。2010 年，Ohno 通过在低维矩阵代数 $\mathbb{M}_3$ 和 $\mathbb{M}_4$ 中给出例子给出了肯定回答。本文旨在为 Rudolph 问题在各种矩阵代数中给出肯定回答。我们获得具有紧上界的极值边缘态的方法，基于 Choi-Jamio$\l$kowski 同构和极值点的张量积。