具有正部分转置的极端二分态的性质与构造

我们考虑一个二分量子系统$H_A \times H_B$，其中$M=\dim H_A$且$N=\dim H_B$。我们研究了所有具有正部分转置 (PPT) 态的紧致凸集的极值点集合$E$，及其子集$E_r=\{\rho \in E: \text{rank } \rho=r\}$。我们的主要结果涉及$E_r$的子集$E_r^{M,N}$，该子集由约化密度算符秩分别为$M$和$N$的态组成。集合$E_1$即为纯乘积态集合。已知对于$1< r \le \min(M,N)$和$r=MN$，$E_r^{M,N}$为空集。我们证明了$E_{MN-1}^{M,N}$也为空集。Leinaas、Myrheim 和 Sollid 曾猜想对于所有$M,N>2$，$E_{M+N-2}^{M,N}$非空，且对于$1<r<M+N-2$，$E_r^{M,N}$为空集。我们证明了该猜想的第一部分。第二部分在$\min(M,N)=3$时已知成立，我们证明了其在$\min(M,N)=4$时也成立。这是我们关于若$M,N>3$则$E_{N+1}^{M,N}$为空集这一结果的推论。我们引入了“好”态的概念，证明了所有纯态都是好态，并给出了好可分离态的简单描述。对于$E_{M+N-2}^{M,N}$中的好态$\rho$，我们证明了$\rho$的值域不包含任何乘积矢量，且$\rho$的部分转置秩也为$M+N-2$。在$M=3$的特殊情况下，我们为所有$N>3$构造了秩为$N+1$的好$3 \times N$极端态。