量子低秩近似问题

我们考虑著名的低秩近似问题的一个量子版本。具体来说，我们考虑两个归一化量子态 $\rho$ 和 $\sigma$ 之间的距离 $D(\rho,\sigma)$，其中 $\sigma$ 的秩被约束为至多 $R$。对于迹距离和 Hilbert-Schmidt 距离，我们解析地求解了使该距离最小化的最优态 $\sigma$。对于 Hilbert-Schmidt 距离，唯一最优态为 $\sigma = \tau_R + N_R$，其中 $\tau_R = \Pi_R \rho \Pi_R$ 是通过投影算符 $\Pi_R$ 将 $\rho$ 投影到其 $R$ 个主成分上得到的，$N_R$ 是由 $N_R = \frac{1- \text{Tr}(\tau_R)}{R}\Pi_R$ 给出的归一化因子。对于迹距离，该态也是最优的，但并非唯一最优，我们提供了最优态的完整集合。我们简要讨论了我们的结果如何应用于在量子计算机上通过变分优化执行主成分分析 (PCA)。