关于量子态相对熵的定理及其在量子通信隐私性中的应用

我们证明了以下关于量子态相对熵的定理。“子态定理：设 rho 和 sigma 为同一 Hilbert 空间中的量子态，其相对熵 S(rho|sigma) = Tr rho (log rho - log sigma) = c。则对于所有 epsilon > 0，存在一个态 rho'，使得迹距离 ||rho' - rho||_t = Tr sqrt{(rho' - rho)^2} <= epsilon，且 rho'/2^{O(c/epsilon^2)} <= sigma。”该定理指出，如果 rho 和 sigma 的相对熵很小，则存在一个接近 rho 的态 rho'（即迹距离 ||rho' - rho||_t 很小），当其按因子 2^{O(c)} 缩放后，它将“位于内部”，或成为 sigma 的一个“子态”。该结果在量子通信复杂度和密码学中有若干应用。利用子态定理，我们推导了双方量子通信模型中集合成员问题的隐私权衡。在此模型中，Alice 获得 [n] 的一个子集 A，Bob 获得输入 i 属于 [n]，他们需要确定 i 是否属于 A。“集合成员的隐私权衡：在任何用于集合成员问题的双方量子通信协议中，如果 Bob 仅泄露关于其输入的 k 比特信息，则 Alice 必须至少泄露关于其输入的 n/2^{O(k)} 比特信息。”我们还讨论了在子态定理背景下自然产生的各种信息论量之间的关系。