关于两个 $n$ 模高斯态相对熵计算的教学注记

我们给出了玻色子 Fock 空间中两个 $n$ 模高斯态 $\rho$、$\sigma$ 的相对熵 $S(\rho||\sigma)$ 的公式。结果表明相对熵具有经典部分与量子部分：经典部分由来自高斯态 $\rho$ 和 $\sigma$ 热态组成的 $n$ 对伯努利试验的相对香农熵的加权线性组合构成。量子部分有 $n$ 项之和，它们是高斯态 $\rho'$ 的单模边缘的湮灭均值与协方差矩阵的函数，而 $\rho'$ 在 $\sigma$ 的解纠缠酉高斯对称操作下等价于 $\rho$。还给出了高斯态 $\rho$、$\sigma$ 的 Petz-Renyi 相对熵 $S_\alpha(\rho||\sigma)$ 的推广公式。进一步表明当 $\alpha$ 增至 1 时 Petz-Renyi 相对熵收敛于极限 $S(\rho||\sigma)$。