收敛区间端点附近的随机幂级数

在本文中，我们将考虑幂级数 $$\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n,$$ 其中系数 $a_n$ 独立地以均匀分布从有限集中随机选取。我们证明，若系数的期望值为正（相应地，负），则 $$\lim_{x\to 1-}\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n=\infty\qquad (\text{resp. }\lim_{x\to 1-}\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n=-\infty)$$ 的概率为 $1$。此外，若系数的期望值为 $0$，则 $$\limsup_{x\to 1-}\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n=\infty,\qquad \liminf_{x\to 1-}\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n=-\infty$$ 的概率为 $1$。我们借助贝尔范畴（Baire categories）研究了类似问题。