具有最优网格尺寸的Ambrosio-Tortorelli泛函的随机有限差分离散化

我们提出并分析了一种Ambrosio-Tortorelli泛函的有限差分离散化。已知若相对于间距为$\delta$的底层周期晶格进行离散化，离散泛函$\Gamma$-收敛到Mumford-Shah泛函仅当$\delta\ll\varepsilon$，其中$\varepsilon$为Ambrosio-Tortorelli泛函的椭圆近似参数。相对于平稳、遍历且各向同性的随机晶格进行离散化，我们证明了该$\Gamma$-收敛结果在$\delta\sim\varepsilon$时也成立，而此 regime 下相对于周期晶格的离散化收敛到Mumford-Shah泛函的各向异性版本。