$L_p$ 空间的 Raja 覆盖指数

我们研究了经典 $L_p$ 空间及其非交换对应物的 Raja 覆盖指数 $\Theta_X(n)$。对于无限维希尔伯特空间，我们精确计算了覆盖指数，证明 $$\Theta_H(n)=n^{-1/2}\qquad(n\in\mathbb N);$$ 特别地 $\Theta_H(2)=1/\sqrt{2}$，从而回答了 Raja 关于 $\elltwo$ 精确的两片覆盖指数的问题。对于标量值勒贝格空间 $L_p(\mu)$，$1\le p<\infty$，我们构造了单位球的显式块分解，得到了对所有 $n\in\mathbb{N}$ 的上界 $\Theta_{L_p(\mu)}(n)\le n^{-1/p}$；特别地 $\Theta_{\ell_p}(n)\le n^{-1/p}$。对于 $1<p<\infty$，在相应的 $p$-AUS 重范数假设下，这结合 Raja 的一般下界给出了精确的渐近估计 $\Theta_{L_p(\mu)}(n)\asymp n^{-1/p}$。我们还获得了博赫纳空间 $L_p(\mu;E)$ 在非原子 $\sigma$-有限测度空间上的一致上界 $\Theta_{L_p(\mu;E)}(n)\le n^{-1/p}$，常数与巴拿赫空间 $E$ 无关；这表明，在幂型上估计的层面上，覆盖指数的衰减速率不依赖于 $E$ 的渐近几何，从而部分回答了 Raja 的一个问题。最后，利用非交换 Clarkson 不等式，我们为与半有限冯·诺依曼代数相关的非交换 $L_p(M,\tau)$ 空间推导了幂型下界 $\Theta_{L_p(M,\tau)}(n)\gtrsim n^{-1/r}$，其中 $r=\min\{p,2\}$。我们未尝试优化非交换设置中的指数或常数。