关于小码的覆盖半径与对偶距离的关系

Tietäväinen 的上下界断言，对于对偶距离为 $d$ 的块长为 $n$ 的线性码，覆盖半径 $R$ 最多为 $\frac{n}{2}-(\frac{1}{2}-o(1))\sqrt{dn}$，且通常至少为 $\frac{n}{2}-\Theta(\sqrt{dn\log{\frac{n}{d}}})$。这些关于 $R -\frac{n}{2}$ 的界限之间的差距是一个 $\Theta(\sqrt{\log{\frac{n}{d}}})$ 因子，与给定 $d$ 时的最坏覆盖半径与球覆盖界限之间的差距有关。本文的重点是 $d = o(n)$ 的情况，即码大小为次指数且差距为 $w(1)$ 的情况。我们证明，在常数范围内，可以通过放宽覆盖要求以允许缺失 $o(1)$ 比例的点来消除该差距。即，如果对偶距离 $d = o(n)$，则对于足够大的 $d$，几乎所有的点都可以被半径 $R\leq\frac{n}{2}-\Theta(\sqrt{dn\log{\frac{n}{d}}})$ 覆盖。与随机线性码相比，我们关于 $R-\frac{n}{2}$ 的界限在渐近意义上是紧的，误差因子小于 $3$。我们给出了对偶 BCH 码的应用。证明建立在作者先前关于线性码陪集重量分布的工作之上，我们在本文中对其进行了简化，并从码扩展到了 $\{0,1\}^n$ 上的概率分布，从而使得上述结果能够扩展到 $(d-1)$-wise 独立分布。