具有良好对偶性质的小码陪集的权重分布

二元线性码的双边最小距离是指所有非零码字权重介于 $d$ 和 $n-d$ 之间的最大 $d$ 值。设 $Q\subset \{0,1\}^n$ 为一个二元线性码，其对偶码的双边最小距离至少为 $d$，其中 $d$ 为奇数。大致而言，我们表明，随着 $Q$ 的对偶码的双边最小距离 $d$ 增加，$Q$ 的随机陪集的权重分布与二项分布之间的平均 $L_\infty$-距离（从而 $L_1$-距离）迅速衰减。对于 $d = \Theta(1)$，其衰减速度约为 $n^{-\Theta(d)}$；而在 $d=\Theta(n)$ 的极端情况下，其衰减速度约为 $e^{-\Theta(d)}$。由此可知，$Q$ 的几乎所有陪集的权重分布都非常接近二项分布。具体而言，我们建立了以下界限：如果 $Q$ 的对偶码的双边最小距离至少为 $d=2t+1$，其中 $t\geq 1$ 为整数，则平均 $L_\infty$-距离至多为 $\min\{\left(e\ln{\frac{n}{2t}}\right)^{t}\left(\frac{2t}{n}\right)^{\frac{t}{2} }, \sqrt{2} e^{-\frac{t}{10}}\}$。对于平均 $L_1$-距离，我们得出界限 $\min\{(2t+1)\left(e\ln{\frac{n}{2t}}\right)^{t} \left(\frac{2t}{n}\right)^{\frac{t}{2}-1},\sqrt{2}(n+1)e^{-\frac{t}{10}}\}$，这在 $t\geq 3$ 时给出了非平凡结果。我们给出了该方法在扩展 Hadamard 码和扩展对偶 BCH 码陪集权重分布中的应用。我们的论证基于傅里叶分析、线性规划和多项式逼近技术。