随机线性码最小距离的分布

本文研究了 $\mathbb{F}_q^n$ 中维数为 $k$ 的随机线性码的最小距离（在 Hamming 度量下）的分布。我们提供了定量估计，表明最小距离的分布函数（关于 $n$ 为超多项式地）接近于 $(q^k-1)/(q-1)$ 个参数为 $\frac{1}{q}$ 和 $n$ 的独立二项随机变量的最小值的累积分布函数。后者在 $\frac{k}{n}$ 收敛到 $(0,1)$ 中某个固定数时，于整数点收敛到 Gumbel 分布。我们的结果在强意义上证实：除比例码字权重的识别外，随机码的线性结构所引入的概率依赖性对最小码重的影响可忽略不计。作为主结果的推论，我们改进了 $2<q<49$ 时的 Gilbert--Varshamov 界。