线性码与量子码的 Gilbert-Varshamov 界的改进

Gilbert-Varshamov (GV) 界是编码理论中的核心基准，为纠错码建立了存在性保证，并作为 Hamming 和量子容错信息处理的基线。尽管经过数十年的努力，改进 GV 界仍然极其困难，已知的改进通常依赖于技术上繁重的论证，并且由于额外的自正交约束而无法自然地扩展到量子环境。在本工作中，我们开发了一种简洁的概率方法，对 $q$ 元线性码的经典 GV 界进行了改进。对于相对距离 $\delta=d/n<1-1/q$，我们证明只要 $\frac{q^{k}-1}{q-1}\;<\;\frac{c_\delta \sqrt{n}\, q^{n}}{\mathrm{Vol}_q(n,d-1)}$，就存在一个 $[n,k,d]_q$ 线性码，其中 $c_\delta$ 为仅依赖于 $\delta$ 的正常数，$\mathrm{Vol}_q(n,d-1)$ 表示 $q$ 元 Hamming 球的体积。我们进一步通过分析辛自正交结构，将该方法适配到量子环境。对于 $\delta<1-1/q^2$，我们得到了改进的量子 GV 界：只要 $\frac{q^{2n-k}-1}{q-1}<\frac{c_\delta \sqrt{n}\cdot q^{2n}}{\sum_{i=0}^{d-1}\binom{n}{i}(q^2-1)^i}$，就存在一个 $q$ 元量子码 $[[n,\,n-k,\,d]]$。特别地，我们的结果通过 $\Omega(\sqrt{n})$ 的乘法因子改进了标准的量子 GV 界。