渐近达到量子 Gilbert-Varshamov 界的部分级联 Calderbank-Shor-Steane 码

在本文中，我们利用一种级联方案构造新的量子纠错码族，渐近地达到量子 Gilbert-Varshamov（GV）界。我们将交替码与任意达到经典 GV 界的线性码级联以构造 Calderbank-Shor-Steane（CSS）码。我们证明该级联码可渐近达到量子 GV 界，并能在非对称 Pauli 信道下逼近 Hashing 界。结合 Steane 的 CSS 码放大构造，我们导出了一族放大的稳定子码，渐近地达到放大 CSS 码的量子 GV 界。作为应用，我们导出两族可快速编码与解码的 CSS 码，其参数为 $\mathscr{Q}_1=[[N,\Omega(\sqrt{N}),\Omega( \sqrt{N})]],$ 和 $\mathscr{Q}_2=[[N,\Omega(N/\log N),\Omega(N/\log N)/\Omega(\log N)]]$。我们证明 $\mathscr{Q}_1$ 可由规模为 $O(N)$、深度为 $O(\sqrt{N})$ 的电路非常高效地编码。对于输入的错误综合征，$\mathscr{Q}_1$ 可在 $O(N)$ 时间内纠正任意权重不超过最小距离界一半的对抗性错误。$\mathscr{Q}_1$ 也可通过使用 $O(\sqrt{N})$ 个经典处理器在 $O(\sqrt{N})$ 时间内并行解码。对于输入的错误综合征，我们证明 $\mathscr{Q}_2$ 可在 $O(N)$ 时间内以高概率纠正线性数量的 ${X}$-错误和近乎线性数量的 ${Z}$-错误。此外，$\mathscr{Q}_2$ 可通过使用 $O(N)$ 个经典处理器在 $O(\log(N))$ 时间内并行解码。