$\mathbb{R}^3$ 和 $\mathbb{R}^4$ 中的径向 Fourier 乘子

我们证明，对于紧支集远离原点的径向 Fourier 乘子 $m: \mathbb{R}^3\to\mathbb{C}$，若 $K=\hat{m}$ 属于 $L^p(\mathbb{R}^3)$，则 $T_m$ 在范围 $1<p<\frac{13}{12}$ 内是限制性强 (p,p) 型的。我们还证明了四维空间中径向 Fourier 乘子的一个 $L^p$ 特征刻画；即，对于紧支集远离原点的径向 Fourier 乘子 $m: \mathbb{R}^4\to\mathbb{C}$，$T_m$ 在 $L^p(\mathbb{R}^4)$ 上有界当且仅当 $K=\hat{m}$ 属于 $L^p(\mathbb{R}^4)$，范围是 $1<p<\frac{36}{29}$。我们的证明方法依赖于一个几何论证，该论证利用三维圆环多重交集大小的界来控制三维和四维中圆环对之间相切的数量。