局部紧量子群上的 $L_p$-$L_q$ 傅里叶乘子

设 $\mathbb{G}$ 为具有对偶 $\widehat{\mathbb{G}}$ 的局部紧量子群。假设左 Haar 权 $\varphi$ 与对偶左 Haar 权 $\widehat{\varphi}$ 均为迹的，例如 $\mathbb{G}$ 为单模 Kac 代数。我们证明：对于 $1<p\le 2 \le q<\infty$，当符号 $x$ 属于 $L_{r,\infty}(\mathbb{G},\varphi)$（其中 $1/r=1/p-1/q$）时，傅里叶乘子 $m_{x}$ 从 $L_p(\widehat{\mathbb{G}},\widehat{\varphi})$ 到 $L_q(\widehat{\mathbb{G}},\widehat{\varphi})$ 有界。此外，我们有 \begin{equation*} \|m_{x}:L_p(\widehat{\mathbb{G}},\widehat{\varphi})\to L_q(\widehat{\mathbb{G}},\widehat{\varphi})\|\le c_{p,q} \|x\|_{L_{r,\infty}(\mathbb{G},\varphi)}, \end{equation*} 其中 $c_{p,q}$ 为仅依赖于 $p$ 和 $q$ 的常数。H"ormander \cite{Hormander1960} 首先对 $\mathbb{R}^n$ 证明了该结论，近来被推广到更一般的群与量子群。我们的工作涵盖了所有这些结果且证明更为简洁。特别地，这也给出了离散群冯·诺依曼代数上的一族 $L_p$-傅里叶乘子。我们还证明了 $\mathcal{S}_p$-$\mathcal{S}_q$ Schur 乘子的类似结果。