节点线的准独立性

我们证明了具有协方差 $(x,y)\mapsto\kappa(x-y)$ 的平面中心平稳高斯场的水平集的准独立性结果。作为首个应用,我们沿 [BG16] 的精神研究节点线的渗流。在该文中,Beffara 与 Gayet 依赖 Tassion 的方法([Tas16])证明,在关于 $\kappa$ 的某些假设下——最显著的是 $\kappa \geq 0$ 且 $\kappa(x)=O(|x|^{-325})$——节点集满足盒子穿越性质。随后 Beliaev 与 Muirhead 在 [BM17] 中将衰减指数降至 $16+\varepsilon$。在本工作中,得益于一种针对穿越事件准独立性的新方法,我们将该指数降至 $4+\varepsilon$。该方法不依赖定量离散化。我们的准独立性结果也适用于计数节点分支的事件,并且我们得到了围绕 [NS15] 中 Nazarov 与 Sodin 常数的节点分支密度的下集中结果。