评估双变量独立性：重访 Bergsma 协方差

Bergsma (2006) 提出了随机变量 X 和 Y 之间的协方差 $\kappa$(X,Y)。他推导了在 X 和 Y 独立的零假设下它们的渐近分布。非零（相依）情况似乎尚未在文献中得到研究。我们推导了 $\kappa$ 的几种替代表达式。其中一个表达式引导我们得到一个非常直观的 $\kappa$(X,Y) 估计量，它是四个自然产生的 U 统计量的一个优良函数。我们推导了所有三个估计量之间的精确有限样本关系。然后，通过使用 U 统计量中心极限定理，得到了我们的估计量（因此也包括其他两个估计量）在非零（相依）情况下的渐近分布。对于特定的参数双变量分布，$\kappa$ 的值可以用这些分布的自然相依参数来表示。特别地，我们推导了当 (X,Y) 服从 Gumbel 双变量指数分布时 $\kappa$ 的公式。我们通过对几个重要的双变量分布进行广泛的模拟，揭示了这些估计量的各个方面。特别地，我们研究了 $\kappa$ 与相依参数之间的经验关系、估计量的分布性质以及这些估计量的准确性。我们还研究了这些度量在检验独立性时的功效，并在它们之间以及与其他众所周知的类似度量进行了比较。基于这些练习，所提出的估计量在功效和计算效率方面似乎与其竞争者一样好或更好。