关于两个自由随机变量的反交换子

设 $(\kappa_n(a))_{n\geq 1}$ 表示非交换概率空间 $(\mathcal{A},\varphi)$ 中随机变量 $a$ 的自由累积量序列。基于关于二部图的若干考虑，我们给出了一个用 $(\kappa_n(a))_{n\geq 1}$ 和 $(\kappa_n(b))_{n\geq 1}$ 计算累积量 $(\kappa_n(ab+ba))_{n\geq 1}$ 的公式，其中 $a$ 与 $b$ 自由独立。我们的公式将 $ab+ba$ 的第 $n$ 个自由累积量表示为由集合 $\mathcal{Y}_{2n}$ 中形如 $$\sigma=\{B_1,B_3,\dots, B_{2n-1},E_1,\dots,E_r\}, \quad \text{其中 }r\geq 0,$$ 且对 $i=1,3,\dots,2n-1$ 有 $i\in B_{i}$、对 $j\leq r$ 有 $|E_j|$ 为偶数的非交叉划分所索引的和。因此，通过研究集合 $\mathcal{Y}_{2n}$，我们获得了关于 $ab+ba$ 分布的新结果。例如，当 $a,b$ 为参数 1 的自由 Poisson 随机变量时，$|\mathcal{Y}_{2n}|$ 的大小与之密切相关。我们的公式也可用仙人掌图表示。这种图论方法提示了一种自然的推广，使我们能够研究 $k$ 个自由随机变量的二次型。