二阶自由累积量：积、交换子与反交换子

给定两个二阶自由随机变量 $a$ 和 $b$，我们研究它们的积 $ab$、交换子 $ab-ba$ 以及反交换子 $ab+ba$ 的二阶自由累积量。设 $(\kappa_n^a)_{n\geq 1}$ 和 $(\kappa_{n,m}^a)_{n,m\geq 1}$ 分别表示二阶非交换概率空间 $(\mathcal{A},\varphi,\varphi^2)$ 中随机变量 $a$ 的一阶和二阶自由累积量序列。给定 $a$ 和 $b$ 为两个二阶自由独立随机变量，我们提供了用各个累积量 $(\kappa_{n}^{a})_{n\geq 1}$、$(\kappa_{n,m}^{a})_{n,m\geq 1}$、$(\kappa_{n}^{b})_{n\geq 1}$ 和 $(\kappa_{n,m}^{b})_{n,m\geq 1}$ 计算每个累积量 $(\kappa_{n,m}^{ab})_{n,m\geq 1}$、$(\kappa_{n,m}^{ab-ba})_{n,m\geq 1}$ 和 $(\kappa_{n,m}^{ab+ba})_{n,m\geq 1}$ 的公式。当 $n=m=1$ 时，我们的公式为：\begin{align*} \kappa_{1,1}^{ab} &= \kappa_{2}^{a}\kappa_{2}^{b} +\kappa_{1,1}^{a}(\kappa_{1}^{b})^2+\kappa_{1,1}^{b}(\kappa_{1}^{a})^2,\\ \kappa_{1,1}^{ab-ba} &= 2\kappa_{2}^{a}\kappa_{2}^{b},\\ \kappa_{1,1}^{ab+ba} &= 2\kappa_{2}^{a}\kappa_{2}^{b} +4\kappa_{1,1}^{a}(\kappa_{1}^{b})^2+4\kappa_{1,1}^{b}(\kappa_{1}^{a})^2. \end{align*} 一般而言，我们的公式将累积量 $\kappa_{n,m}^{ab}$、$\kappa_{n,m}^{ab-ba}$ 和 $\kappa_{n,m}^{ab+ba}$ 表示为以非交叉划分置换的特殊子集为索引的求和。关于交换子和反交换子的公式此前未被研究过，而关于积的公式仅在个别二阶自由累积量消失的情况下已知。作为应用，我们显式计算了两个二阶自由半圆变量的反交换子与积的累积量。