关于自由 $n$ 元非交换随机变量的乘法

设 $a_{1},...,a_{n}, b_{1},...,b_{n}$ 为某非交换概率空间中的随机变量，使得 $\{a_{1}, ..., a_{n} \}$ 与 $\{b_{1}, ..., b_{n} \}$ 独立。我们展示 $n$ 元组 $(a_{1} b_{1}, ..., a_{n} b_{n})$ 的联合分布可由 $(a_{1}, ..., a_{n})$ 与 $(b_{1}, ..., b_{n})$ 的联合分布通过 $n$ 维 $R$-变换的组合学来描述。我们指出可从本结果轻易推导的若干应用，涉及以半圆元为中心的左右平移（见第 1.6-1.10 节）以及以投影进行压缩（见第 1.11-1.14 节）的 $n$ 元组非交换随机变量。Dan Voiculescu 在该论文的附录中对这两类应用的另一种方法作了简要说明。