自由随机变量几何均值的极限定律

设$\{T_{k}\}_{k=1}^{\infty}$为有限冯·诺依曼代数中的一族*-自由同分布算子。本文证明了自由中心极限定理的乘法版本。更确切地说，令$B_{n}=T_{1}^{*}T_{2}^{*}... T_{n}^{*}T_{n}... T_{2}T_{1}$，则$B_{n}$为正算子，且$B_{n}^{1/2n}$依分布收敛于算子$\Lambda$。我们由$|T|^{2}$的分布$\mu$完全确定了$\Lambda$的概率分布$\nu$。这给出了一个自然映射$\mathcal{G}:\mathcal{M_{+}}\to \mathcal{M_{+}}$，使得$\mu\mapsto \mathcal{G}(\mu)=\nu$。我们研究了该映射关于加法和乘法自由卷积的行为。作为我们结果的一个有趣推论，我们阐明了概率分布$\nu$与\cite{LyaV}中引入的序列$\{T_{k}\}_{k=1}^{\infty}$的 Lyapunov 指数分布之间的关系。