通过矩给出累积系数的显式普遍界限

我们建立了关于标量随机变量的第 $n$ 阶累积系数 $\kappa_n(X)$ 的显式、普遍且分布自由的界限，仅由第 $n$ 阶绝对矩功能 $M_n(X)$ 控制。界限形式为 $\lvert\kappa_n(X)\rvert \le C_n M_n(X)$。我们的主要贡献是推导满足 $C_n \sim (n-1)!/\rho^{\,n}$ 的系数，这在经典界限中所述系数呈超指数增长(顺序为 $n^n$)时提供了指数级的改进。我们提出了一系列细化，其中参数 $\rho$ 随着功能 $M_n(X)$ 纳入更多结构信息而增大。最一般的界限使用原始矩 $M_n(X)=\mathsf{E}[\lvert X\rvert^n]$，参数 $\rho=\ln 2 \approx 0.693$。使用中心矩 $M_n(X)=\mathsf{E}[\lvert X-\mathsf{E}[X]\rvert^n]$ 可将参数提高到 $\rho_{\mathrm{cen}} \approx 1.146$，而假设对称性可进一步提高参数。该证明是基础的，结合矩-累积系数分区公式与统一矩乘积不等式。我们进一步证明尽管这些界限在相关系数为正时不可达，但它们在仅凭单个矩的有限信息下是渐近有效的。通过应用于独立和的标准化累积系数，展示了界限的实用性。