Kummer 分布的保独立性性质

我们证明：若 $X,Y$ 为正的、独立的、非 Dirac 随机变量，且对 $\alpha,\beta\ge 0$，$\alpha\neq \beta$，$$\psi_{\alpha,\beta}(x,y)=\left(y\,\tfrac{1+\beta(x+y)}{1+\alpha x+\beta y},\;x\,\tfrac{1+\alpha(x+y)}{1+\alpha x+\beta y}\right),$$ 则由 $(U,V)=\psi_{\alpha,\beta}(X,Y)$ 定义的随机变量 $U$ 与 $V$ 独立，当且仅当 $X$ 与 $Y$ 服从参数适当相关的 Kummer 分布。换言之，在 Croydon 与 Sasada 于 \cite{CS2020} 引入的模型中，由 $\psi_{\alpha,\beta}$ 控制的格点递推模型的任一不变测度必为具有 Kummer 边缘分布的乘积测度。该结果推广了先前关于 Kummer 与 gamma 分布由 $$U=\tfrac{Y}{1+X}\quad\mbox{与}\quad V= X\left(1+\tfrac{Y}{1+X}\right)$$ 的独立性所刻画的结论，后者对应于 $\psi_{1,0}$ 的情形。我们还表明，Kummer 分布的这一独立性性质作为极限情形，涵盖了文献中已知的若干独立性模型：Lukacs 模型、Kummer-Gamma 模型、Matsumoto-Yor 模型以及离散 Korteweg de Vries 模型。