平面光滑高斯场在临界性态下的节点线的分形行为

本文致力于研究平面光滑高斯场在临界性态下（即 $\ell=\ell_c=0$）的激发集和节点集的大尺度几何结构。我们证明存在 $s_1>1$，使得以高概率，大小为 $\lambda$ 的盒子中出现的宏观节点线的长度至少为 $\lambda^{s_1}$。作为应用，若某盒子被节点线穿过，则最短的穿越路径的长度至少为 $\lambda^{s_1}$。我们还证明存在 $s_2<2$，使得以高概率，最短穿越路径是非退化的，即其长度为最多 $\lambda^{s_2}$。下界的证明基于阿温曼和巴赫尔德的经典论文[1]，该论文提供了展示随机曲线具有分形行为的通用方法。对于上界，我们的证明依赖于在[4]中证明的单臂事件概率衰减为多项式。