平面随机簇模型:临界相的分形性质

本文研究 $\mathbb Z^2$ 上簇权 $q\in[1,4)$ 的平面随机簇模型的临界态。更精确地,我们证明四边形中的交叉估计在其边界条件上一致,且仅依赖于其极值长度。它们特别地蕴含:任何分形边界都被宏观簇触及,在其粗糙度或所述边界上的构型上一致。此外,它们蕴含原始与对偶簇间界面集合的任何子序列标度极限由非简单环组成。我们还获得所谓臂事件的数项性质:三个普适临界指数(半平面两臂、半平面三臂与体五臂)、拟乘性与良分离性质(即使臂未在原始与对偶间交替),以及四臂指数严格小于 2 的事实。这些结果先前仅知于伯努利渗流($q = 1$)与 FK-Ising 模型($q = 2$)。最后,我们证明 $q\in[1,2]$ 下的一、二与四臂指数的新界。其改进了先前已知界,即便对伯努利渗流亦然。