投影带标 ${\rm SL}_n$-skein 代数的量子丛实现

对于任意无内部穿孔的可三角剖分 pb 曲面 $\mathfrak{S}$，我们在投影带标 ${\rm SL}_n$-skein 代数 $\widetilde{\mathscr{S}}_\omega(\mathfrak{S})$（即约化带标 ${\rm SL}_n$-skein 代数模去量子迹映射的核的商）的斜分式域 ${\rm Frac}\bigl(\widetilde{\mathscr{S}}_\omega(\mathfrak{S})\bigr)$ 内引入了量子丛代数结构 $\mathscr A_\omega(\mathfrak{S})$。为了研究投影 ${\rm SL}_n$-skein 代数 $\widetilde{\mathscr{S}}_\omega(\mathfrak{S})$、量子丛代数 $\mathscr A_\omega(\mathfrak{S})$ 及其量子上丛代数 $\mathscr U_\omega(\mathfrak{S})$ 之间的关系，我们为 $\mathscr U_\omega(\mathfrak{S})$ 构造了一个分裂同态，并证明它与 $\widetilde{\mathscr{S}}_\omega(\mathfrak{S})$ 的分裂同态相容。当 $\mathfrak{S}$ 的每个连通分支至少包含两个穿孔时，这种相容性使我们能够证明 $\widetilde{\mathscr{S}}_\omega(\mathfrak{S})$ 嵌入 $\mathscr A_\omega(\mathfrak{S})$，其证明方式是展示连接 $\mathfrak{S}$ 两个不同边界分支的带标弧（它们生成 $\widetilde{\mathscr{S}}_\omega(\mathfrak{S})$）在乘以一个关于冻结变量的 Laurent 单项式后，即为可交换丛变量。我们进一步猜想这些可交换丛变量生成了量子上丛代数 $\mathscr U_\omega(\mathfrak{S})$，若此猜想成立，将蕴含等式 $\widetilde{\mathscr{S}}_\omega(\mathfrak{S})=\mathscr A_\omega(\mathfrak{S})=\mathscr U_\omega(\mathfrak{S})$。