量子簇代数与平移量子仿射代数的表示

我们为平移量子仿射代数（单边型）的表示范畴$\mathcal{O}^{sh}_{\mathbb{Z}}$的Grothendieck环构造了一个新的量子化$K_t(\mathcal{O}^{sh}_{\mathbb{Z}})$。我们证明了我们的量子化与量子Borel仿射代数的量子Grothendieck环$K_t(\mathcal{O}^{\mathfrak{b},+}_{\mathbb{Z}})$是相容的，即存在一个自然的嵌入$K_t(\mathcal{O}^{\mathfrak{b},+}_{\mathbb{Z}})\hookrightarrow K_t(\mathcal{O}^{sh}_{\mathbb{Z}})$。我们的构造部分基于Geiss-Hernandez-Leclerc发现的经典Grothendieck环上的簇代数结构。作为初步应用，我们提出了$QQ$-系统的量子类比（在$A_1$型中我们使其完全显式化）。我们还证明了量子谐振子代数同构于我们量子Grothendieck环的一个子代数的局部化，并且它也同构于Berenstein-Zelevinsky的量子双Bruhat胞腔$\mathbb{C}_t[SL_2^{w_0,w_0}]$。