虚 Grothendieck 环的量子化及其包含量子簇代数的结构

与复有限维单 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 相关联的量子 loop 代数的某类有限维模范畴的量子 Grothendieck 环具有斜对称类型的量子簇代数结构。部分受寻找对应于{\em 斜可对称化}类型的量子簇代数的环的驱动，Kashiwara--Oh \cite{KO23} 最近引入了量子{\em 虚} Grothendieck 环，记为 $\mathfrak{K}_q(\mathfrak{g})$，作为基于在 $q=1$ 处特殊化的 $(q,t)$-Cartan 矩阵的量子环面中的一个子环。在本文中，我们证明 $\mathfrak{K}_q(\mathfrak{g})$ 确实具有斜可对称化类型的量子簇代数结构。该任务本质上涉及构造 $\mathfrak{K}_q(\mathfrak{g})$ 的特异基，用于将用于生成簇变量，以及推广与 Kirillov--Reshetikhin 模相关联的量子 $T$-系统以建立簇变量的量子交换关系。此外，这些特异基自然契合 Kazhdan--Lusztig 理论的范式，且我们对这些基的研究引出了关于量子正性与 $q$-交换性的一些猜想。