裂纹与 punctured 表面的簇集代数

我们证明了 $\mathcal{A}_{SL_2,\Sigma_{g,p}}$（即带至少 2 个 punctures 的 triangulable 表面 $\Sigma_{g,p}$ 上的装饰化 $SL_2$-局部系统的模空间的 $\mathcal{A}$-簇集 variety）的完整 Fock--Goncharov 猜想。等价地，我们说明了标记裂纹代数 $Sk^{ta}(\Sigma)$（或中间簇集代数 $\mathrm{mid}(\mathcal{A})$）与上部簇集代数 $U(\Sigma)$ 相等。借鉴 Shen--Sun--Weng 的工作，我们引入局部化簇集 variety $\mathring{\mathcal{A}}$ 作为装饰 Teichm"uller 空间 $\mathcal{T}^d(\Sigma)$ 的代数版本。我们表明其全局截面 $\Gamma(\mathring{\mathcal{A}},\mathcal{O}_{\mathring{\mathcal{A}}})$ 等于经典 Roger--Yang 裂纹代数 $Sk^{RY}_{q\to1}(\Sigma)$，从而以 Roger--Yang 裂纹代数 $Sk^{RY}_q(\Sigma)$ 的量化形式对 $\mathcal{T}^d(\Sigma)$ 进行量化。作为我们几何表征的 consequences，我们推导出标记裂纹代数 $Sk^{ta}(\Sigma)$ 和经典 Roger--Yang 裂纹代数 $Sk^{RY}_{q\to1}(\Sigma)$ 的正规性和 Gorenstein 性，以及上部簇集代数 $U(\Sigma)$ 的有限生成性。