曲面的状态 skein 代数

我们研究具有穿孔边界的曲面的状态 skein 代数的代数与几何性质。我们证明双角形的 skein 代数同构于量子群 ${\mathcal O}_{q^2}(\mathrm{SL}(2))$，并为其结构态射提供了拓扑解释。我们还表明其状态 skein 代数在恰当意义下提升（lift）了 Reshetikhin-Turaev 函子，特别地，我们以拓扑方式重新得到了 ${\mathcal O}_{q^2}(\mathrm{SL}(2))$ 的对偶 $R$-矩阵。我们推得，具有 $n$ 个边界分支的曲面的 skein 代数是 ${\mathcal O}_{q^2}(\mathrm{SL}(2))^{\otimes{n}}$ 上的代数-余模，并证明沿理想弧的割开对应于双余模的 Hochshild 上同调。我们给出曲面状态 skein 代数的辫积（braided tensor product）作为“在三角上粘合”的拓扑解释；随后我们以拓扑方式重新得到 ${\mathcal O}_{q^2}(\mathrm{SL}(2))$-余模范畴中的若干辫化双代数（braided bialgebras），其中包括 ${\mathcal O}_{q^2}(\mathrm{SL}(2))$ 的“变换（transmutation）”。我们还提供了状态 skein 代数作为“几何非对称模算子（geometric non symmetric modular operad）”实例的算子解释。在论文最后一部分，我们定义了状态 skein 代数的约化版本，并证明它可用来重新得到 Bonahon-Wong 的量子迹映射，且在经典极限 $q\to 1$ 时将 skein 代数解释为某合适版本扭曲丛模空间上的正则函数。