带状态 Skein 理论与双仿射 Hecke 代数表示

在本论文中，我们通过带状态 skein 理论的视角探索双仿射 Hecke 代数（DAHAs）的表示论。在过去十年中，已有若干工作建立了 skein 代数与 DAHAs 之间的稳健联系。特别地，Samuelson 证明了 $A_1$ 型 DAHAs 的球面子代数可以实现为具有边界的环面的 Kauffman 括号 skein 代数 $K_q(T^2 \setminus D^2)$ 的商。由于 $A_1$ 双仿射 Hecke 代数与其球面子代数 Morita 等价，因此发现 $K_q(T^2 \setminus D^2)$ 的模立即为我们提供了 $A_1$ DAHA 的模。带状态 skein 理论通过纳入流形的边界分量来增强传统的 Kauffman 括号 skein 理论，从而提供了诸如切除等额外性质，丰富了代数结构。此外，Kauffman 括号 skein 代数嵌入到其带状态对应物中，表明带状态 skein 代数是 Kauffman 括号 skein 代数的扩张。我们利用这一扩展框架进一步发展了 $A_1$ DAHA 的表示论。在确定 $T^2 \setminus D^2$ 的带状态 skein 代数的生成元后，我们将该代数嵌入到量子 6-环面中，并利用量子环面的良好表示论性质来构造 Laurent 多项式模。此外，由于 $T^2$ 是任意纽结补空间的边界，我们讨论了如何从各种纽结构造一个更具拓扑定义的模，并给出了平凡纽结的明确示例。该方法建立在 Berest 和 Samuelson 的思想基础上，他们证明了纽结补空间的 Kauffman 括号 skein 模上存在自然的 DAHA 作用。