切片 skein 代数与几何 Kauffman 括号

带 $m$ 个穿孔的亏格 $g$ 闭曲面 $\mathfrak{S}=\Sigma_{g,m}$ 的切片 skein 代数，是 Kauffman 括号 skein 代数 $\mathcal{S}_\xi(\mathfrak{S})$ 在固定其边界曲线的标量值后的商代数。我们证明：当基环为整环时，有限型曲面的切片 skein 代数是整环。当量子参数 $\xi$ 为单位根时，我们计算了切片 skein 代数的中心及其 PI 次数。作为应用之一，我们证明切片特征簇的任意光滑点都是 skein 代数 $\mathcal{S}_\xi(\mathfrak{S})$ 的完全 Azumaya 点。对于任意定向连通 3-流形 $M$ 的基本群的任意 $SL_2(\mathbb{C})$ 表示 $\rho$ 以及满足 $ord(\xi^2)$ 为奇数的单位根 $\xi$，我们引入 $\rho$-约化 skein 模 $\mathcal{S}_{\xi,\rho}(M)$。我们证明当 $M$ 为闭流形且 $\rho$ 不可约时，$\mathcal{S}_{\xi,\rho}(M)$ 的维数为 1。我们还证明若 $\rho$ 不可约，则柄体的 $\rho$-约化 skein 模作为其边界 skein 代数上的模是单模，且其维数等于其边界 skein 代数的 PI 次数。