${\rm SL}_3$-层状结构作为曲面上 ${\rm PGL}_3$ 簇簇变形的基

本文部分解决了Fock-Goncharov关于与带边界数据的带孔曲面$\frak{S}$上${\rm G}$-局部系统模空间相关联的簇变形的对偶猜想，其中${\rm G}$是$A_2$型群，即${\rm SL}_3$和${\rm PGL}_3$。基于Kuperberg的${\rm SL}_3$-网，我们引入了$\frak{S}$上${\rm SL}_3$-层状结构的概念，定义为带有整数权重的某些${\rm SL}_3$-网。我们为${\rm SL}_3$-层状结构引入了坐标系，并证明了满足同余性质的${\rm SL}_3$-层状结构是簇$\mathscr{A}$-模空间$\mathscr{A}_{{\rm SL}_3,\frak{S}}$的热带整数点的几何实现。对于每一个这样的${\rm SL}_3$-层状结构，我们在簇$\mathscr{X}$-模空间$\mathscr{X}_{{\rm PGL}_3,\frak{S}}$上构造了一个正则函数。我们证明这些函数构成了所有正则函数环的一组基。为了证明，我们为任何带有标记点的三角化带边曲面开发了${\rm SL}_3$量子和经典迹映射，并给出了它们的态和公式。我们构造了$\mathscr{X}_{{\rm PGL}_3,\frak{S}}$上基本正则函数的量子版本。本文构造的基由非椭圆网构建，因此可视为更高的“手镯”基，相应的“手链”版本也可视为Fock-Goncharov和Allegretti-Kim在${\rm SL}_2$-${\rm PGL}_2$情形下基的直接类比。