曲面上 $\mathrm{SL}_3$-网的 Tropical Fock-Goncharov 坐标 II：自然性

在配套论文（arXiv 2011.01768）中，我们为有限型穿孔曲面 $\hat{S}$ 上的既约 $\mathrm{SL}_3$-网集合 $\mathscr{W}_{3, \hat{S}}$ 构造了非负整数坐标 $\Phi_\mathscr{T}(\mathscr{W}_{3, \hat{S}}) \subset \mathbb{Z}_{\geq 0}^N$，其依赖于 $\hat{S}$ 的一个理想三角剖分 $\mathscr{T}$。我们证明这些坐标关于三角剖分的选择是自然的，即如果选择不同的三角剖分 $\mathscr{T}^\prime$，则关联 $\Phi_\mathscr{T}(\mathscr{W}_{3, \hat{S}})$ 与 $\Phi_{\mathscr{T}^\prime}(\mathscr{W}_{3, \hat{S}})$ 的坐标变换映射是一个 tropical $\mathcal{A}$-坐标簇变换。因此，我们可以将网 $\mathscr{W}_{3, \hat{S}}$ 视为 Fock-Goncharov-Shen 正整数 tropical 点 $\mathcal{A}_{\mathrm{PGL}_3, \hat{S}}^+(\mathbb{Z}^t)$ 的具体拓扑模型。